Vamos relembrar os conceitos primitivos que apresentamos em aulas passadas, para preparar o terreno do que vem a seguir.

Primeiro, introduzimos o conceito de partícula clássica, que consiste em um objeto sem dimensões, que não pode ser criado ou destruído, e que possui um conjunto de observáveis associados, ou definidores, como a massa e a carga elétrica. Com a partícula, podemos construir sistemas de partículas, que consistem em conjuntos de partículas com suas características definidoras.

No contexto de sistemas de partículas, ou sistemas físicos, introduz-se o conceito de interação e de movimento. Duas partículas em um mesmo sistema, no geral, interagem entre si mudando seus estados de movimento. A interação entre partículas depende dos observáveis intrínsecos às partículas do sistema, como a massa e a carga elétrica, que geram as interações gravitacional e eletromagnética, respectivamente. Estados de movimento necessitam da estrutura matemática para serem devidamente definidos, mas estamos chegando lá.

Toda característica de um sistema físico, inclusive as características intrínsecas, é um observável. O observador é um sistema físico munido de um aparato de medida, ou seja, uma forma de se coletar informação sobre um determinado observável do sistema físico alvo. Esta coleta de informações é denominado de medição, enquanto a informação coletada é chamada de medida. Uma medida é um elemento do conjunto de todas as medidas possíveis de serem coletadas sobre determinado observável, o espectro. Considerando-se um espectro relacionado a um observável, uma medição pode filtrar uma única medida, ou um subconjunto de medidas do espectro.

O processo de medição consiste na interação entre o observador e o sistema físico, de modo que, em via de regra, os estados de movimento de ambos podem ser alterados. Contudo, definimos uma medida clássica como aquela que perturba minimamente o estado de movimento do sistema, de modo que a interferência da medição é considerada desprezível.

Para a construção de uma teoria coerente para a mecânica clássica, vamos nos utilizar da precisão matemática. Esta é a vocação primordial da física: descrever e predizer o comportamento de fenômenos naturais de forma precisa e inequívoca. Um caminho que poderíamos seguir é o de postular, através da observação e experiência, o comportamento dos conceitos primitivos da teoria. Para tanto, precisaríamos incluir outros conceitos e demonstrar seu comportamento matemático. Contudo, nosso ponto de vista será mais simples. A partir dos conceitos já estabelecidos, estabeleceremos um mapa para estruturas matemáticas já existentes. Este mapeamento tem o objetivo primeiro de estabelecer precisamente uma forma de relacionar as partículas, movimento e interações de um sistema.

O mapeamento se dá através de postulados, que relacionam conceitos físicos a objetos matemáticos. Definiremos, primeiro, o conceito de posição:

Neste caso, introduzimos um novo conceito, o de posição, e este conceito está vinculado a uma estrutura matemática, um espaço euclidiano. Assim, em nosso ponto de vista, o conceito de posição é um conceito derivado, necessita da teoria matemática para ser definido.

Por outro lado, definir um conceito a partir da estrutura matemática exige que a própria estrutura seja devidamente compreendida e explorada. A teoria matemática cria, neste sentido, um terreno abstrato. É neste terreno que os conceitos primitivos e derivados são posicionados e, assim, a teoria física toma vida própria.

Existem, de fato, duas estruturas matemáticas conhecidas como \(\mathbb{R}^3\). A primeira dessas estruturas é uma variedade diferenciável; um espaço de pontos no qual é possível definir curvas suaves. Como veremos, esta propriedade será de importância fundamental para a descrição do movimento. Por outro lado, o espaço euclidiano é também um espaço vetorial. Portanto, a posição de uma partícula clássica também pode ser representada pelos tão conhecidos vetores euclidianos, com todas as suas propriedades. Trataremos dessas propriedades mais adiante.

Vamos, primeiro, tratar do espaço \(\mathbb{R}^3\) como uma variedade. O protótipo do espaço euclidiano é a reta real \(\mathbb{R}\), que consiste em uma representação do conjunto dos número reais sobre uma reta (fig \ref{284923}).