O produto cartesiano

Como dissemos anteriormente, a reta real é o protótipo do espaço euclidiano. No caso de \(\mathbb{R}\), este espaço é definido pelo conjunto dos números reais com a topologia da reta, ou equivalentemente, pela métrica descrita pelo módulo.
Os demais espaços euclidianos podem ser construídos a partir da reta real e de um produto cartesiano. Sejam dois pontos \(a,b\in \mathbb{R}\), podemos construir uma lista ordenada \((a,b)\). Neste caso, \((a,b)\neq (b,a)\). O conjunto de todas as listas ordenadas bi-dimensionais, ou bi-ordenadas, forma um conjunto de pontos denominado espaço euclidiano bidimensional, ou simplesmente o plano cartesiano \(\mathbb{R}^2\). Dizemos que\[\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\otimes \mathbb{R},\]em que \(\otimes\) denota o produto cartesiano.
Portanto, cada ponto \(x\in \mathbb{R}^2\) é representado por uma dupla ordenada \((a,b)\), com \(a,b\in \mathbb{R}\). Esta relação é representada simplesmente por \(x\equiv (a,b)\). Portanto, a posição de uma partícula em um sistema bi-dimensional é mapeada no plano cartesiano, em que cada ponto constitui em dois números reais ordenados. Um exemplo físico de um sistema bidimensional vem a ser o bem conhecido pêndulo simples.