Vetores euclidianos (vetores covariantes)
Transformações lineares, como já vimos, são melhor realizadas através de matrizes. Por exemplo, uma rotação passiva, com a qual já nos familiarizamos, consiste na rotação do sistema de coordenadas por uma matriz do grupo \(SO(3)\), ou seja, uma matriz ortogonal de determinante igual a 1.
Para que um vetor seja euclidiano, esta transformação considerada sobre a base vetorial dos eixos \(\mathbf{e}_i\) deve ter a forma\[x\rightarrow x'=Rx \ \implies \ \mathbf{e}_i=\sum_{j=1}^3R_{ij}^T\mathbf{e}'_j,\]em que \(R_{ij}^T\) são as componentes da transposta da matriz \(R\)\[R=\left(R_{ij}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
R_{11} & R_{12} & R_{13}\\
R_{21} & R_{22} & R_{23}\\
R_{31} & R_{32} & R_{33}
\end{array}\right).\]Assim, um vetor \(\mathbf{x}\) obedecerá a