O próximo exemplo em ordem de complexidade é o potencial \(V=\alpha x^{2}\), novamente para \(\alpha\) real e não negativo. Vamos ver qual é sua curva solução através da quadratura\[t-t_{0}=\pm\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_{0}}^{x}\frac{dx'}{\sqrt{E-\alpha x'^{2}}}.\]Nesta integral, é mais conveniente a forma\[t-t_{0}=\pm\sqrt{\frac{m}{2E}}\int_{x_{0}}^{x}\frac{dx'}{\sqrt{1-\frac{\alpha}{E}x'^{2}}},\]visto que uma simples transformação de variáveis não resolve a integral.
Agora, introduzimos a transformação \(x'\rightarrow y=\sqrt{\frac{\alpha}{E}}x'\), que resulta em,\[t-t_{0}=\pm\sqrt{\frac{m}{2\alpha}}\int_{x_{0}\sqrt{\alpha/E}}^{x\sqrt{\alpha/E}}\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}.\]
Esta é um integral que deve ser resolvida por uma transformação trigonométrica. A dica é a forma da raiz no denominador, \(\sqrt{1-y^{2}}\). Se \(y=\cos\theta\), temos que\[\sqrt{1-y^{2}}=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sin\theta.\]Por outro lado, \(\)\(dy=-\sin\theta d\theta\). Assim,\[\begin{align}t-t_{0}&=\pm\sqrt{\frac{m}{2\alpha}}\int_{y_{0}}^{y}\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}\\ \nonumber &=\pm\sqrt{\frac{m}{2\alpha}}\int_{\theta_{0}}^{\theta}\frac{-\sin\theta'd\theta'}{\sin\theta'}=\pm\sqrt{\frac{m}{2\alpha}}\int_{\theta_{0}}^{\theta}d\theta'=\pm\sqrt{\frac{m}{2\alpha}}\left(\theta-\theta_{0}\right).\end{align}\]Agora, temos que \[\theta=\arccos y=\arccos\left(\sqrt{\frac{\alpha}{E}}x\right),\]portanto,\[t-t_{0}=\pm\sqrt{\frac{m}{2\alpha}}\left[\arccos\left(\sqrt{\frac{\alpha}{E}}x\right)-\arccos\left(\sqrt{\frac{\alpha}{E}}x_{0}\right)\right].\]A inversa desta relação resulta em\[\begin{equation}x=\sqrt{\frac{E}{\alpha}}\cos\left[\sqrt{\frac{2\alpha}{m}}\Delta t\pm\arccos\left(\sqrt{\frac{\alpha}{E}}x_{0}\right)\right],\label{eq:05}\end{equation}\]
que é o resultado final. Vamos ver o que há de familiar nesta equação.
Se \(t=t_{0}\), podemos calcular a posição inicial da partícula:\(\)\[x\left(t_{0}\right)=\sqrt{\frac{E}{\alpha}}\cos\left[\pm\arccos\left(\sqrt{\frac{\alpha}{E}}x_{0}\right)\right]=\pm\sqrt{\frac{E}{\alpha}}\sqrt{\frac{\alpha}{E}}x_{0}=\pm x_{0}.\]Este resultado seria esperado, a menos do sinal \(\pm\). Vamos discutir isso em instantes.
A velocidade é calculada por\[v=\frac{dx}{dt}=-\sqrt{\frac{2E}{m}}\sin\left[\sqrt{\frac{2\alpha}{m}}\Delta t\pm\arccos\left(\sqrt{\frac{\alpha}{E}}x_{0}\right)\right],\]e a aceleração:\[a=-\frac{2}{m}\sqrt{\alpha E}\cos\left[\sqrt{\frac{2\alpha}{m}}\Delta t\pm\arccos\left(\sqrt{\frac{\alpha}{E}}x_{0}\right)\right].\]Com as soluções, torna-se claro que este sistema é um oscilador. Vamos supor que, na posição inicial \(x_{0}\), o observador ligue seu relógio, de modo que \(t_{0}=0\). Isto facilita nossa análise. Se \(x\left(0\right)\)é positivo, temos a solução com sinal \(+\) em (\ref{eq:05}). Além disso, a função cosseno tem imagem no intervalo \(\left[-1,1\right]\). Assim, o maior valor de \(x\) é dado por \(\)\(A\equiv\sqrt{E/\alpha}\), enquanto seu menor valor é dado por \(A\equiv-\sqrt{E/\alpha}\). Portanto, \(A\) é a amplitude do oscilador. Neste caso,\[x=A\cos\left[t\sqrt{\frac{2\alpha}{m}}\pm\arccos\left(\frac{x_{0}}{A}\right)\right].\]O tempo gasto para que o oscilador percorra um ciclo do movimento é denominado período. Podemos calcula-lo a partir da própria quadratura, visto que\[t-t_{0}=\sqrt{\frac{m}{2\alpha}}\left[\arccos\left(\sqrt{\frac{\alpha}{E}}x\right)\pm\arccos\left(\sqrt{\frac{\alpha}{E}}x_{0}\right)\right].\]Neste caso, o período é duas vezes o tempo que o oscilador gasta para percorrer o trajeto de \(x=A\) a \(x=-A\). Assim,\[\begin{align}T & =2\sqrt{\frac{m}{2\alpha}}\left[\arccos\left(-\sqrt{\frac{\alpha}{E}}A\right)\pm\arccos\left(\sqrt{\frac{\alpha}{E}}A\right)\right]\\ & =2\sqrt{\frac{m}{2\alpha}}\left[\arccos\left(-1\right)\pm\arccos\left(1\right)\right]=2\pi\sqrt{\frac{m}{2\alpha}}.\end{align}\]Por outro lado, a frequência da oscilação é definida por \(f=1/T\), ou seja, \(f=\left(\sqrt{2\alpha/m}\right)/\left(2\pi\right)\).
Ainda, a frequência angular, ou velocidade angular é definida por \(\)\(\omega=2\pi f\), que resulta em\[\omega=\sqrt{\frac{2\alpha}{m}}.\]Com estes novos parâmetros, temos as soluções\[\begin{align}x & =A\cos\left[\omega t\pm\arccos\left(\frac{x_{0}}{A}\right)\right],\\v & =-\sqrt{\frac{2E}{m}}\sin\left[\omega t\pm\arccos\left(\frac{x_{0}}{A}\right)\right],\\a & =-\frac{2}{m}\sqrt{\alpha E}\cos\left[\omega t\pm\arccos\left(\frac{x_{0}}{A}\right)\right].\end{align}\]Para completar esta seção, vamos calcular a energia em função de \(\omega\) e \(A\). Neste caso,\[E=\alpha A^{2}=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}.\]Assim,\[\begin{align}x & =A\cos\left[\omega t\pm\arccos\left(\frac{x_{0}}{A}\right)\right],\\v & =-\omega A\sin\left[\omega t\pm\arccos\left(\frac{x_{0}}{A}\right)\right],\\a & =-\omega^{2}A\cos\left[\omega t\pm\arccos\left(\frac{x_{0}}{A}\right)\right],\end{align}\]como esperado. No geral, temos essas expressões escritas para a condição inicial \(\)\(x_{0}=A\), o que resulta em\[x =A\cos\left(\omega t\right),\thinspace\thinspace\thinspace v=-\omega A\sin\left(\omega t\right),\thinspace\thinspace\thinspace a=-\omega^{2}A\cos\left(\omega t\right).\label{eq:solucoes}\]Observando as soluções (\ref{eq:solucoes}), vemos claramente que \(a=-\omega^{2}x\), ou seja,\[\begin{equation}\ddot{x}+\omega^{2}x=0.\label{eq:07}\end{equation}\]Esta é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, e é definida como a equação de movimento do sistema. Assim, uma equação de movimento em mecânica clássica geralmente é uma EDO de segunda ordem, salvo nos sistemas que estudaremos no formalismo hamiltoniano.