\bigskip{}
\noindent %
\doublebox{\begin{minipage}[c][1\totalheight][t]{0.97\textwidth}%
\begin{defn}
(Massa e momento linear)\label{mass=000026mom}
\end{defn}
%
\end{minipage}}
\bigskip{}
Vamos considerar, por simplicidade, o exemplo de duas partículas isoladas.
Temos
\[
\mathbf{p}=m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{2}\mathbf{v}_{2}.
\]
Neste caso, definimos o momento de cada partícula como
\[
\mathbf{p}_{1}=m_{1}\mathbf{v}_{1}\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbf{p}_{2}=m_{2}\mathbf{v}_{2},
\]
de modo que
\[
\mathbf{p}=\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}.
\]
Evidentemente, se as velocidades são vetores por rotações, os momentos
também o são.
Se $\mathbf{p}$ é constante, temos
\[
\frac{d\mathbf{p}}{dt}=0\,\,\,\implies\,\,\,\frac{d}{dt}\left(m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{2}\mathbf{v}_{2}\right)=0,
\]
ou seja,
\[
m_{1}\mathbf{a}_{1}+m_{2}\mathbf{a}_{2}=0.
\]
Voltando ao sistema de $n$ partículas, as expressões anteriores resultam
em
\begin{equation}
\mathbf{p}=\sum_{I}\mathbf{p}_{I},\,\,\,\,\,\mathbf{p}_{I}=m_{I}\mathbf{v}_{I},\label{eq:1.5.2}
\end{equation}
bem como
\begin{equation}
\frac{d\mathbf{p}}{dt}=0\,\,\,\implies\,\,\,\sum_{I}m_{I}\mathbf{a}_{I}=0,\label{eq:1.5.3}
\end{equation}
\section{Observáveis dinâmicos fundamentais}
\subsection*{Força\label{subsec:2.2.3}}
Da equação \eqref{eq:1.5.3}, vemos que a conservação do momento implica
em que a soma da massa vezes a aceleração de cada partícula deve ser
nula. Podemos definir
\bigskip{}
\noindent %
\doublebox{\begin{minipage}[c][1\totalheight][t]{0.97\textwidth}%
\begin{defn}
(Força)\label{For=0000E7a}
A força que age sobre uma partícula $I$ de momento linear $\mathbf{p}_{I}$
e massa $m_{I}$ constante é dada por 
\begin{equation}
\mathbf{F}_{I}=\frac{d\mathbf{p}_{I}}{dt}=m_{I}\mathbf{a}_{I}.\label{eq:1.6.1}
\end{equation}
\end{defn}
%
\end{minipage}}
\bigskip{}
Note que $\mathbf{F}$ é também um vetor por rotações. Dessa forma,
a conservação do momento implica em
\begin{equation}
\sum_{I}\mathbf{F}_{I}=0\label{eq:1.6.2}
\end{equation}
para um sistema de partículas isolado. A definição \eqref{eq:1.6.1}
é equivalente à segunda lei de Newton.
Voltando ao sistema de duas partículas, \eqref{eq:1.6.2} resulta
em
\begin{equation}
\mathbf{F}_{1}=-\mathbf{F}_{2},\label{eq:1.6.3}
\end{equation}
ou seja, a força que a partícula $2$ exerce sobre a partícula $1$
é igual ao negativo da força que a partícula $1$ exerce sobre a partícula
$2$. Esta é a expressão matemática da terceira lei de Newton na forma
forte.
\subsection*{Energia\label{subsec:2.2.4}}
Vamos tomar o caso de uma partícula de massa $m$ sobre a qual age
uma força $\mathbf{F}$. Neste caso, a dinâmica é dada pela equação
\begin{equation}
\mathbf{F}=m\mathbf{a}=m\dot{\mathbf{v}}=m\ddot{\mathbf{x}},\label{eq:1.6.4}
\end{equation}
ou seja, conhecida a força $\mathbf{F}=\mathbf{F}\left(t,\mathbf{x},\mathbf{\dot{x}}\right)$,
\eqref{eq:1.6.4} torna-se um sistema de três equações diferenciais
ordinárias para o vetor posição. Em notação tensorial, temos
\begin{equation}
F^{i}=m\ddot{x}^{i},\,\,\,\,\,\,\,i=1,2,3.\label{eq:1.6.5}
\end{equation}
Vamos tomar o produto escalar de \eqref{eq:1.6.4} por $\mathbf{v}$,
que resulta em
\[
F_{i}v^{i}=m\ddot{x}_{i}v^{i}=m\ddot{x}_{i}\dot{x}^{i}.
\]
Note que
\[
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\,\dot{x}_{i}\dot{x}^{i}\right)=\frac{1}{2}m\frac{d}{dt}\left(\dot{x}_{i}\dot{x}^{i}\right)=m\ddot{x}_{i}\dot{x}^{i},
\]
portanto,
\begin{equation}
F_{i}\dot{x}^{i}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\,\dot{x}_{i}\dot{x}^{i}\right).\label{eq:1.6.6}
\end{equation}
Em notação vetorial,
\begin{equation}
\dot{\mathbf{x}}\cdot\mathbf{F}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\,\dot{\mathbf{x}}^{2}\right).\label{eq:1.6.7}
\end{equation}
\bigskip{}
\noindent %
\doublebox{\begin{minipage}[c][1\totalheight][t]{0.97\textwidth}%
\begin{defn}
(Energia cinética)\label{EC}
A quantidade
\begin{equation}
K=\frac{1}{2}m\,\dot{\mathbf{x}}^{2}\label{eq:1.6.8}
\end{equation}
é denominada energia cinética de uma partícula de massa $m$ e velocidade
$\dot{\mathbf{x}}$.
\end{defn}
%
\end{minipage}}
\bigskip{}
Da equação \eqref{eq:1.6.7} vemos que, se a força é ortogonal à velocidade,
a energia cinética se conserva. Ou seja,
\begin{equation}
\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=0\,\,\,\,\implies\,\,\,\,\frac{dK}{dt}=0.\label{eq:1.6.9}
\end{equation}
Este caso inclui o da partícula livre, em que $\mathbf{F}=0$.
Vamos supor que a força $\mathbf{F}$ seja derivada de um potencial,
ou seja,
\begin{equation}
\mathbf{F}=-\nabla V,\label{eq:1.6.10}
\end{equation}
em que $\nabla$ é o operador gradiente:
\begin{equation}
\nabla V\rightarrow\left(\frac{\partial V}{\partial x^{1}},\frac{\partial V}{\partial x^{2}},\frac{\partial V}{\partial x^{3}}\right)\equiv\frac{\partial V}{\partial x^{i}}=\partial_{i}V.\label{eq:1.6.11}
\end{equation}
Então, \eqref{eq:1.6.6} resulta em
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\,\dot{x}_{i}\dot{x}^{i}\right)=F_{i}\dot{x}^{i}=-\dot{x}^{i}\partial_{i}V=-\frac{dx^{i}}{dt}\frac{\partial V}{\partial x^{i}}=-\frac{dV}{dt}.\label{eq:1.6.12}
\end{equation}
Neste caso,
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\left(K+V\right)=0.\label{eq:1.6.13}
\end{equation}
Portanto, se a força é derivada de um potencial, temos uma constante
de movimento:
\bigskip{}
\noindent %
\doublebox{\begin{minipage}[c][1\totalheight][t]{0.97\textwidth}%
\begin{defn}
(Energia mecânica)\label{E}
O escalar
\begin{equation}
E=K+V\label{eq:1.6.14}
\end{equation}
é denominado energia mecânica da partícula, quando é uma constante
de movimento. O escalar $V$, cujo gradiente é o negativo da força
que age sobre a partícula, é denominado energia potencial.
\end{defn}
%
\end{minipage}}
\bigskip{}
A energia mecânica é a primeira quantidade conservada que encontramos
na mecânica newtoniana. Sua própria definição depende de sua invariância
temporal: esritamente, não se define energia mecânica de sistemas
cuja força não se derive de um potencial (salvo algumas exceções).