A conservação do movimento
Nas seções passadas, vimos como dois postulados fundamentais estabelecem a dinâmica do movimento de uma partícula. O postulado 5 é uma releitura da primeira lei de Newton. Para nossos propósitos, ela é importante para a definição dos referenciais inerciais. Esta definição difere da apresentação usual da primeira lei em um aspecto importante. Substitui o conceito de força (ou ausência de), por um conceito mais preciso, o de partículas isoladas. Neste contexto, uma partícula isolada é aquela longe o suficiente de qualquer outra partícula (ou campo), que possa com ela interagir. De fato, a existência de um referencial inercial implica na existência de infinitos referenciais inerciais, todos medindo uma partícula isolada como aquela em movimento retilíneo uniforme. Dizemos, também, que tal partícula é livre, ou inercial.
O postulado 6 estabelece a conservação da energia total de um sistema isolado. Com estes postulados, somos capazes de tratar sistemas unidimensionais, ou seja, sistemas com apenas um graude liberdade. Foram os casos da partícula livre, da partícula sujeita a um potencial linear na posição e da partícula sujeita ao potencial quadrático. Contudo, problemas surgem quando temos dois ou mais graus de liberdade, pois a conservação da energia não é suficiente para determinar univocamente a dinâmica de sistemas multi-dimensionais.
Este problema tem relação com a definição e resolução, mais precisamente da integrabilidade, de equações diferenciais ordinárias, que de fato descrevem a dinâmica desses sistemas.
Introduzimos, assim, o postulado
Postulado 7 - Princípio da conservação do movimento:
Sejam \(n\) partículas que interagem ente si, mas são isoladas em conjunto, observadas por um observador inercial. Seja \(\mathbf{v}_{I}\left(t\right)\) o campo de velocidades da partícula \(I\), sendo \(I=1,\cdots,n\). Então:
- Existe uma combinação linear única e positiva definida das velocidades tais que o vetor resultante é uma constante no tempo, ou seja,\[\begin{equation}
\exists\,\,m_{I}\in\mathbb{R}_{+}:\,\,\sum_{I}m_{I}\mathbf{v}_{I}\left(t\right)=\mathbf{p},\,\,\,\,\,\,\textnormal{e}\,\,\,\,\,\,\frac{d\mathbf{p}}{dt}=0.\label{eq:1.5.1}
\end{equation}\]
- As constantes \(m_{I}\) são independentes do tempo, do sistema referencial escolhido e da natureza da interação. Dependem apenas da natureza das partículas.