Para qualquer campo vetorial \(\mathbf{F}\), é válido o teorema de Stokes\[\oint_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}=\int_\Sigma d\sigma \ \mathbf{n}\cdot\nabla\times \mathbf{F},\]em que a segunda integral é uma integral de superfície. O teorema de Stokes tem a interpretação de relacionar a circulação de um campo vetorial, \(\oint_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}\), ao fluxo de seu rotacional sobre uma superfície.
No nosso caso, a circulação de um campo de forças sobre uma curva fechada é exatamente o trabalho realizado sobre a partícula que percorre esta curva. Assim, se a força é conservativa, este trabalho é nulo, o que resulta em\[\int_\Sigma d\sigma \ \mathbf{n}\cdot\nabla\times \mathbf{F}=0.\]Agora, é sempre possível que o rotacional de um campo vetorial seja ortogonal a determinada superfície \(\Sigma\), mas o teorema de Stokes deve ser verdade para qualquer superfície encerrada pela curva. Assim, a igualdade acima resulta em\[\label{rot}\nabla\times \mathbf{F}=0,\]ou seja, se \(\mathbf{F}\) é conservativo, deve também ser um campo irrotacional.
Outro importante resultado, embora complicado de se demonstrar, é conhecido como teorema de Helmholtz. Este teorema nos diz que, sob certas condições de existência com as quais não nos preocuparemos, um campo vetorial \(\mathbf{F}\) pode ser escrito por\[\mathbf{F}=-\nabla V+\nabla\times \mathbf{W},\]ou seja, pode ser decomposto em um gradiente e um rotacional. Note que as seguintes relações são, portanto, verdadeiras:\[\nabla\cdot \mathbf{F}=-\nabla^2V, \ \ \ \ \nabla\times \mathbf{F}=\nabla\times\nabla\times \mathbf{W},\]já que o rotacional de um gradiente, assim como o divergente de um rotacional, são sempre nulos. Portanto, se a força é conservativa, temos a validade da equação (\ref{rot}), que resulta em\[\nabla\times\nabla\times \mathbf{W}=0.\]A seguinte identidade é válida:\[\nabla\times\nabla\times\mathbf{W}=\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{W}\right)-\nabla^{2}\mathbf{W},\]mas ela só será zero se \(\nabla\times \mathbf{W}\) for igual ao vetor nulo. Neste caso,\[\nabla\times\mathbf{F}=0 \ \ \ \implies \ \ \ \mathbf{F}=-\nabla V.\]No geral, \(V\) é denomindado potencial, mas no nosso caso, veremos que esta função coincide com a energia potencial.
Assim, todas as afirmativas abaixo são equivalentes:
  1. A força \(\mathbf{F}\) é uma força conservativa.
  2. O trabalho da força \(\mathbf{F}\) não depende da curva.
  3. O trabalho da força \(\mathbf{F}\) depende apenas dos pontos inicial e final da curva.
  4. O trabalho da força \(\mathbf{F}\) sobre toda curva fechada é igual a zero.
  5. O rotaçional da força \(\mathbf{F}\) é igual a zero.
  6. A força \(\mathbf{F}\) é igual ao negativo do gradiente de um potencial.

Novamente, conservação da energia

Vamos supor uma força conservativa \(\mathbf{F}\), que em razão dos desenvolvimentos anteriores, é igual ao negativo do gradiente de um potencial \(V\). Vamos supor o caso em que o potencial depende apenas do tempo e da posição da partícula, por simplicidade. Veremos mais adiante que um potencial mais complicado, no geral, não será conservativo.
Neste caso, vimos que o trabalho desta força sobre uma curva qualquer é dada por\[W_\gamma =\int_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}=-\int_\gamma d\mathbf{x}\cdot\nabla V,\]que vimos ser, também, igual à variação da energia cinética da partícula, ou seja,\[K\left(\mathbf{x}_f\right)-K\left(\mathbf{x}_0\right)=-\int_\gamma d\mathbf{x}\cdot\nabla V.\]Note, contudo, que\[dV=\frac{\partial V}{\partial t}dt+\frac{\partial V}{\partial x}dx+\frac{\partial V}{\partial y}dy+\frac{\partial V}{\partial z}dz=\frac{\partial V}{\partial t}dt+d\mathbf{x}\cdot \nabla V,\]em um sistema de coordenadas cartesiano. Neste caso,\[K\left(\mathbf{x}_f\right)-K\left(\mathbf{x}_0\right)=-\int_\gamma dV+\int_\gamma dt\frac{\partial V}{\partial t},\]que resulta em\[K\left(\mathbf{x}_f\right)-K\left(\mathbf{x}_0\right)=-V\left(\mathbf{x}_f\right)+V\left(\mathbf{x}_0\right)+\int_\gamma dt\frac{\partial V}{\partial t},\]ou,\[K\left(\mathbf{x}_f\right)+V\left(\mathbf{x}_f\right)=K\left(\mathbf{x}_0\right)+V\left(\mathbf{x}_0\right)+\int_\gamma dt\frac{\partial V}{\partial t}.\]Aqui, temos a energia mecânica \(E=K+V\), assim,\[E\left(\mathbf{x}_f\right)=E\left(\mathbf{x}_0\right)+\int_\gamma dt\frac{\partial V}{\partial t}.\]Se \(\partial V/\partial t=0\), temos que \(E\left(\mathbf{x}_f\right)=E\left(\mathbf{x}_0\right)\), o que é uma forma global de conservação da energia mecânica. Assim, forças conservativas conservam a energia mecânica em potenciais independentes do tempo.