No gráfico acima, temos também representados três valores de energia mecânica, \(E_0=0\), \(E_1=1\) e \(E_2=4\), por enquanto, vamos ignorar o sistema de unidades utilizado. Como a energia mecânica é constante, seu gráfico é uma reta horizontal com valor igual ao valor da energia. Cada gráfico de energia intersecta o gráfico do potencial em dois pontos: a energia \(E_0\) é igual ao potencial apenas no ponto \(x=0\); a energia \(E_1\) é igual ao potencial nos pontos \(x=\pm 2\), representados pelas retas \(B\) e \(C\) em azul; por fim, a energia \(E_2\) é igual ao potencial em \(x=\pm4\), como mostram as retas \(A\) e \(D\).
Especialmente no ponto
\(x=0\), o potencial tem seu valor mínimo global
\(V=0\), de modo que nenhum ponto do domínio tem valor de potencial menor, ou mesmo igual. Dizemos que
\(x=0\) é um
mínimo global deste potencial. Este é, também, um ponto de equilíbrio estável, o que significa que qualquer partícula colocada neste ponto tem força instantânea igual a zero, mas se perturbada, tende a voltar a esta posição em razão de uma força restauradora. Isto pode ser visto através da função da força do oscilador:
\[F=-\frac{dV}{dx}=-\frac{1}{2}x,\]que é negativa para
\(x>0\), positiva para
\(x<0\) e nula para
\(x=0\).
Usando esta ideia, definimos os pontos de equilíbrio:
Um ponto de equilíbrio, ou ponto crítico de um potencial, consiste em um ponto da trajetória no qual a força exercida sobre o sistema é nula.
Como a força é derivada do potencial pela relação \(\mathbf{F}=-\nabla V\), o que resulta em \(F=-dV/dx\) em uma dimensão, pontos de equilíbrio são encontrados nos pontos nulos da primeira derivada do potencial unidimensional e, portanto, são pontos críticos matemáticos da função \(V\left(x\right)\). Portanto,
Pontos de equilíbrio são raízes da equação \[\frac{dV\left(x\right)}{dx}=0.\]
O teorema de Taylor
Para compreender os tipos de pontos de equilíbrio, precisamos recorrer ao
teorema de Taylor. O teorema expressa que toda função de uma variável diferenciável
\(n\) vezes em um ponto
\(x=x'\) pode ser descrita pela série
\[\begin{align}
f\left(x\right)=&f\left(x'\right)+\frac{1}{1!}\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=x'}\left(x-x'\right)+\frac{1}{2!}\left.\frac{d^2f}{dx^2}\right|_{x=x'}\left(x-x'\right)^2+\nonumber \\ &+\cdots+ \frac{1}{n!}\left.\frac{d^nf}{dx^n}\right|_{x=x'}\left(x-x'\right)^n+R,\end{align}\]o que também pode ser escrito por
\[f\left(x\right)=\sum_{i=0}^n\frac{1}{i!}\left.\frac{d^if}{dx^i}\right|_{x=x'}\left(x-x'\right)^i+R,\label{taylor}\]em que
\(R\) é denominada
resto. Se
\[\lim_{x\rightarrow x'}R=0,\]dizemos que
\(f\) é uma função analítica em
\(x=x'\).
A prova deste toerema foge ao escopo dessas aulas, mas podemos utilizá-lo para analisar o que ocorre com um potencial que pode ser aproximado pela série de Taylor (\ref{taylor}) na forma\[V\left(x\right)\approx V\left(x'\right)+\frac{1}{1!}\left.\frac{dV}{dx}\right|_{x=x'}\left(x-x'\right)+\frac{1}{2!}\left.\frac{d^2V}{dx^2}\right|_{x=x'}\left(x-x'\right)^2.\label{TaylorPot}\]para \(x-x'\) suficientemente pequeno. Aqui, o resto é considerado muito pequeno para constribuir para o valor de \(V\), portanto, a expressão (\ref{TaylorPot}) é uma aproximação adequada para \(V\left(x\right)\) desde que \(x\) esteja suficientemente próximo de \(x'\).
Tipos de equilíbrio
Agora, vamos supor que \(x=x'\) seja um ponto de equilíbrio de \(V\). Neste caso, definindo-se \(\Delta V\equiv V\left(x\right)-V\left(x'\right)\), temos\[\Delta V\approx \frac{1}{2!}\left.\frac{d^2V}{dx^2}\right|_{x=x'}\left(x-x'\right)^2,\label{DV}\]visto que \(dV/dx=0\) para \(x=x'\), como condição de criticidade. Agora, temos dois casos:
1. A segunda derivada de \(V\) em \(x=x'\) é positiva: Neste caso, a diferença de potencial \(\Delta V\) é positiva, o que significa \(V\left(x\right)>V\left(x'\right)\). Neste caso, \(x=x'\) é um ponto de mínimo local do potencial.
Vamos verificar o que ocorre com a força nesta aproximação. Note, primeiro, que\[\frac{d}{dx}\Delta V=\frac{dV}{dx}\approx \left.\frac{d^2V}{dx^2}\right|_{x=x'}\left(x-x'\right)=F\left(x\right).\label{F}\]Assim, se \(x=x'\) é um ponto de mínimo, \(F\left(x\right)>0\) para \(x<x'\) e \(F\left(x\right)<0\) para \(x>x'\). Esta é uma força restauradora. Neste caso, dizemos que
Um ponto de mínimo local de um potencial é um ponto de equilíbrio estável.
Como comentamos anteriormente, um ponto de equilíbrio estável é caracterizado pela existência de forças restauradoras contra qualquer ação que retire o sistema do equilíbrio. No caso do oscilador harmônico simples da figura \ref{707935}, o ponto \(x=0\) é um ponto de equilíbrio estável. De fato, o potencial do oscilador já possui forma quadrática típica da expressão (\ref{DV}), portanto, a série de Taylor do oscilador é exata, tendo resto zero.
2. A segunda derivada de \(V\) em \(x=x'\) é negativa: Neste caso, a diferença de potencial \(\Delta V\) é negativa, o que significa \(V\left(x\right)<V\left(x'\right)\). Neste caso, \(x=x'\) é um ponto de máximo local do potencial.
No caso 2, observando-se a equação (\ref{F}), temos que a força é positiva para \(x>x'\) e negativa para \(x<x'\), portanto, esta é uma força de escape, pois seu módulo aumenta com o aumento da distância absoluta \(\left|x-x'\right|\). Por esta razão,
Um ponto de máximo local de um potencial é um ponto de equilíbrio instável.
O oscilador harmônico simples não possui pontos de equilíbrio instáveis. Mas um potencial do tipo \(V=\cos x\), por exemplo, possui infinitos desses pontos para \(x\in \mathbb{R}\). Em contrapartida o mesmo potencial possui também infinitos pontos de equilíbrio estáveis.
Há, ainda, o caso em que a segunda derivada do potencial é nula. Se isso ocorrer, a aproximação (\ref{TaylorPot}) não é adequada para \(x\rightarrow x'\). Assim, devemos recorrer a termos de ordem superior da série de Taylor, como por exemplo o termo\[\Delta V\approx \frac{1}{3!}\left.\frac{d^3V}{dx^3}\right|_{x=x'}\left(x-x'\right)^3,\label{DV}\]que é representado como exemplo pelo gráfico abaixo: